一项新的证明拓展了已故菲尔兹奖得主玛丽亚姆·米尔扎哈尼的研究成果，作为异域数学领域的先驱，她的遗产得到了延续。
玛丽亚姆·米尔扎哈尼（中）在研究生时期改变了双曲几何领域。但她在40岁时就去世了，许多感兴趣的问题还未能回答。数学家劳拉·蒙克（Laura Monk，左）和纳利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman，右）现在正在继续她未竟的事业。图源：Kristina Armitage/Quanta Magazine；原图（左起）：Fondation L’Oréal For Women in Science，Jan Vondrák，P.Imbert/Collège de France
21世纪初，哈佛大学一位年轻的研究生绘制了一个奇异的数学世界——一个由几何直觉无法解释的形状所构成的世界。她的名字叫玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977—2017），她后来成为第一位获得菲尔兹奖的女性，这是数学界的最高荣誉。
她最早的工作是关于双曲曲面（hyperbolic surface）的。在这种曲面上，平行线会相互远离，而不是保持相同的距离，并且在每一点上，曲面都会像马鞍一样向两个相反的方向弯曲。我们可以想象球面或甜甜圈的表面，但双曲曲面的几何特性非常奇怪，以至于无法可视化。尽管如此，理解它们也很重要，因为这种曲面在数学领域乃至弦理论中无处不在。
米尔扎哈尼是一位颇具影响力的双曲宇宙制图师。还在读研究生期间，她就提出了开创性的技术，使她能够对这些形状进行分类，继而对数学其他领域进行革新。她希望在未来某个时候能重新审视她的双曲领域地图——填补其细节并做出新发现。但还未来得及实现，她便被诊断出患有乳腺癌。米尔扎哈尼于2017年去世，年仅40岁。
此后，两位数学家拾起了她留下的线索，并用其进一步加深了对双曲曲面的理解。在上个月发表的一篇线上论文中，法兰西公学院（Collège de France）的纳利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman）和布里斯托大学（University of Bristol）的劳拉·蒙克（Laura Monk）以米尔扎哈尼的研究为基础，证明了一个关于典型双曲曲面的笼统论述。她们证明，曾经被认为罕见甚至不可能的曲面实际上很常见。事实上，如果随机选择一个双曲曲面，基本可以保证它具有某些关键属性。
“这是一项里程碑式的成果”，普林斯顿大学数学家彼得·萨纳克（Peter Sarnak）评价道，“未来将有更多发现从中涌现。”
这项尚未完成同行评审的研究表明，双曲曲面比人们想象的还要奇怪且难以理解。它建立在米尔扎哈尼宏伟的数学遗产之上，重新点燃了她的梦想，并将这个遍布难以想象形状的宇宙照亮。
一篇内容丰富的论文
米尔扎哈尼在伊朗德黑兰长大，童年时，她是个贪婪的小读者，希望有一天能写出自己的著作。而她在数学方面也很优秀，最终在国际数学奥林匹克竞赛（IMO，一项针对高中生的著名竞赛）上赢得了两枚金牌。1999年，从谢里夫理工大学毕业后，她前往哈佛大学深造。在那里，她爱上了双曲几何。作为一个狂热的涂鸦爱好者，她喜欢挑战理解那些从定义上就无法绘制的形状。
米尔扎哈尼在伊朗长大，最初的梦想是成为一名作家，后来才决定成为一名数学家。图源：Courtesy of Maryam Mirzakhan
“双曲曲面有点像一块拼图，你可以在局部拼接起来，但在我们的宇宙中却永远无法完成”，密歇根大学数学家、米尔扎哈尼的前博士后研究员亚历克斯·赖特（Alex Wright）说道。这是因为拼图的每一块都是马鞍形的。你可以将几块拼凑在一起，但永远无法完全闭合曲面——至少在我们平坦的三维空间中不行。这使得双曲曲面特别难以研究，甚至关于它们的基本问题也悬而未决。
为了理解双曲曲面，数学家研究了其上的闭合路径。这些闭合路径称为测地线（geodesic），有各种形态；对于给定的形状，从初始一点到返回起点，测地线就是两点之间最短的可能路径。曲面上的孔越多，其测地线就越多样、越复杂。通过研究曲面上有多少特定长度的不同测地线，数学家能够了解曲面整体的形态。
为了理解一个曲面，数学家研究其上的路径——称为测地线——这些路径沿着最短的可能轨迹回到起点。上图中这两种形状都有无限多的测地线，因此数学家们计算的是不超过给定长度的测地线的数量。随着曲面中孔洞的数量增加，测地线数量也会增加。图源：Mark Belan/Quanta Magazine
米尔扎哈尼对这些环绕曲面的线十分痴迷。在与同事讨论时，她不断提起这些内容，一贯的矜持便会消失。她经常气喘吁吁地谈论测地线和相关对象，仿佛它们是故事中的人物。“我记得她演讲时会问这两个问题：有多少条曲线，它们在哪里？”多伦多大学的卡斯拉·拉菲（Kasra Rafi）回忆说。
在读博期间，她提出了一个公式，可以估算出任何双曲曲面在给定长度内有多少条测地线。这个公式不仅让她能够描述单个曲面的特性，还帮助证明了弦理论中一个著名的猜想，并让她了解可以构造哪些类型的双曲曲面。
完成学位后，米尔扎哈尼继续在几何学、拓扑学和动力系统领域取得重要进展。但她从未忘记自己博士论文的主题。
她希望进一步了解自己分类的“双曲曲面动物园”中栖息的各种结构。特别是，她想了解典型双曲曲面是什么样子。数学家通常首先研究他们能构造的对象——如图形、结、数列等。但数学家构造的往往“一点也不典型”，索邦大学的布拉姆·佩特里（Bram Petri）谈道，“我们倾向于描绘非常特别的案例。如果随机选择出具有典型性的图形、结或数列，那么它看起来会与其他特例非常不同。”
于是米尔扎哈尼开始随机挑选双曲曲面并研究其特性。“她有完美的工具，所以这很自然”，赖特说。
但她在真正开始研究之前就去世了。蒙克说：“她当时只是在研制‘机器’，然后就没有时间使用它了。”
继续追问
蒙克从未想过自己会成为米尔扎哈尼的接班人。事实上，直到20岁出头，她都没有打算从事数学研究。她从小就想当一名老师，那时为了上数学课时感到不那么无聊，她会辅导同学。“我在学校过得很不开心”，她说，“于是干脆当助教，让自己忙起来。”
劳拉·蒙克自读研究生以来一直在研究米尔扎哈尼在去世前未能完成的数学理论。蒙克觉得她通过米尔扎哈尼的证明了解了这位数学家。图源：Fondation L’Oréal For Women in Science
她参加了巴黎萨克雷大学的硕士课程，全班40人中，只有三名女生。临近毕业时，她得知两位女同学也计划离开学术界。她们的离开让她不禁反思，她们的计划究竟是“我们自己的个人选择和愿望，还是因为我们处在一个非常特殊的环境中，受到的影响比我们意识到的更大。”她感到一种责任，对于那些学数学的女孩，自己必须成为女性在数学领域取得成功的榜样。
于是她决定攻读博士学位。“我们至少要有一个人坚持下来，”她告诉自己，“否则就太可悲了。”（后来，另一个女生也获得了博士学位。）
在一位教授的建议下，蒙克坐火车去见纳利尼·安娜塔拉曼，后者有可能成为她的导师。和米尔扎哈尼一样，安娜塔拉曼也是多个领域的专家。事实上，安娜塔拉曼和米尔扎哈尼两人在职业生涯中多次相遇——她们年龄相仿，研究兴趣相近，且都对人文学科抱有热忱：米尔扎哈尼几乎投身文学研究，而安娜塔拉曼曾接受过古典钢琴训练，一度不确定自己该选择音乐还是数学。
纳利尼·安娜塔拉曼在决定成为数学家之前，几乎选择以古典钢琴家为职业。她近期在双曲几何领域取得了一项开创性成果。图源：Noel Tovia Matoff
2015年，两位数学家不约而同到加州大学伯克利分校进行了为期一学期的访问。米尔扎哈尼的女儿和安娜塔拉曼的儿子年龄相仿，两位数学家偶尔会在社区游乐场见面，在孩子们玩耍的时候，她们谈论着做母亲的话题。
安娜塔拉曼知道米尔扎哈尼在生命的最后阶段开始探索随机双曲曲面。她现在希望在此基础上继续努力。
描述双曲曲面的一种方法是测量其连通性。想象一下你是曲面上的一只蚂蚁，沿着随机的方向爬行。如果走了一会儿，你最终到达曲面上任何地方的可能性是否相等？若曲面的连通性很好，即各个区域之间有很多可能的路径，那么答案是肯定的。但如果它的连通性很差——就像一个哑铃，两个大区域仅由一座狭窄的桥连接——你可能会在一侧徘徊许久，然后才能找到通往另一侧的路。
数学家使用一个称为谱隙（spectral gap）的数来测量曲面的连通性：该值越大，曲面的连通性就越强。尽管我们仍然无法直观想象这类曲面，但谱隙提供了一种思考其整体形状的方法。“这就像用数据回答‘这个曲面长什么样？’”拉菲解释道。
曲面可以以奇怪的方式弯曲和扭转。数学家通过测量其连通性来理解它们。如果你在连通性差的曲面上随意行走，从一片区域到另一片区域需要很长时间。而在良好连通的曲面上，你更有可能快速到达另一个区域。图源：Mark Belan/Quanta
虽然理论上谱隙可以取0到1/4之间的任何值，但数学家能够构造的大多数双曲曲面的谱隙相对较小。直到2021年，人们才找到方法如何构建具有任意孔洞数量且具有最大谱隙的曲面，即连通性达到最大的曲面。
尽管已知的高谱隙双曲曲面相对较少，但数学家们还是怀疑它们实际上十分普遍。双曲曲面的宇宙广阔无垠，而且尚未被充分探索，虽然数学家通常不会在这个宇宙中构造某个具体的曲面，但他们希望了解典型曲面的一般性质。当他们将双曲曲面作为一个整体来看待时，他们预计绝大多数曲面的谱隙为1/4。
这正是安娜塔拉曼希望分配给她的新研究生蒙克的问题。蒙克渴望与一位女导师密切合作，并为自己设定了雄心勃勃的目标——“如果我要读博士学位，就一定要做出成果”，她记得当时是这么想的——于是她签了字。
撰写续集
2018年，米尔扎哈尼去世一年后，蒙克开始跟随安娜塔拉曼开启博士研究。她的第一步是尽可能多地学习米尔扎哈尼在双曲曲面方面的研究。
众所周知，如果能足够准确地估计出曲面上闭合测地线的数量（米尔扎哈尼深入研究过的那些环状路径），你就能计算出曲面的谱隙。蒙克和安娜塔拉曼需要证明：几乎所有双曲曲面的谱隙都是1/4。也就是说，随着曲面上孔洞数量的增加，选择具有最佳谱隙的曲面的可能性将接近100%。
两人首先从米尔扎哈尼在博士期间提出的测地线计数公式入手。问题在于，这个公式会低估测地线的数量。它能计算出大部分测地线，但不是全部——漏掉了更复杂的测地线，比如一个围绕两个洞的8字形，这些测地线在交叉后又回到起点。
米尔扎哈尼花了数年时间探索“双曲”几何的奇异世界。她喜欢在巨大的纸张上涂鸦自己的想法，尽管这种形状从定义上来说是无法被画出来的。图源：Thomas Lin
尽管米尔扎哈尼的公式存在局限，蒙克与安娜塔拉曼仍从中窥见了证明较大谱隙的可能。“这简直像是奇迹一般”，安娜塔拉曼感叹道，“它如此有效，对我来说仍然感到很神秘。”
如果她和蒙克能改进米尔扎哈尼公式，使其也能计算更复杂的测地线，结果会怎样？也许她们能把计算做得足够精确，从而得到1/4的谱隙，这也是她们之前的数学家们渴望实现的目标。
安娜塔拉曼突然想起米尔扎哈尼去世前两年发给她的一封邮件，其中提出了一系列有关谱隙和测地线计数之间关系的问题。“当时，我完全不知道她为什么要问这些问题”，安娜塔拉曼说。但现在她意识到，或许米尔扎哈尼早已想到要用类似的方法。
攻读博士期间，蒙克曾花了许多精力研究如何将米尔扎哈尼公式扩展到更复杂的测地线。与此同时，她还撰写了长篇文章，详细阐述米尔扎哈尼在原始论文中未完全解释的关键概念。“我觉得她的一些想法只是搁在案头，等着别人向学界解释，因为她本人已没有机会去做了。”蒙克如是说。
到2021年，蒙克已经弄清楚了如何计算以前无法计算的各种测地线。她和安娜塔拉曼知道，再做一些附加的工作，她们可能就能用新公式更好地估计谱隙。但她们拒绝发表阶段性成果，直指完整证明1/4的最终目标。
然后，她们陷入了困境。
重温圣典
有一种特别难缠的测地线挡住了她们的去路。这类测地线会长时间缠绕在曲面的同一区域，形成盘旋的缠结。缠结只出现在少数难缠的曲面上，但一旦出现，就会成群结队，令人应接不暇。如果蒙克和安娜塔拉曼将它们计入总数，就会打乱从测地线数量推算谱隙的关键计算——导致结果值小于1/4。
蒙克说，情况看上去毫无希望。
当两个独立的团队在几个月内先后发表了论文，证明谱隙为3/16时，蒙克的沮丧感更有加深。不过这个消息并没有让安娜塔拉曼感到困扰，她只关心达到1/4。“当我开始做研究时，我有点痴迷于一个遥远的目标”，她说。显然这是她和米尔扎哈尼共有的一个特点。
但对于蒙克，她还在读博的最后一年，需要一个能让她完成论文的成果，她怀疑是否应该退而求其次。“我有点沮丧，因为我们本来没有想要这样做”，她说。
亚历克斯·赖特是取得3/16结果的团队成员之一，他理解蒙克的困境。“让一个研究生挑战如此艰巨的问题，这很罕见”，他说。而且似乎没有人能想出办法实现1/4。
但安娜塔拉曼有一个想法：转向数学的另一个领域——图论（graph theory），来寻找灵感。请记住，安娜塔拉曼和蒙克的目标是证明大多数双曲曲面都是尽可能连通的。早在20年前，数学家乔尔·弗里德曼（Joel Friedman，1949-）已经证明，大多数图（由顶点和边构成的数学结构）都具有这种特性。
乔尔·弗里德曼证明，几乎所有由点和线组成的网络，即图，都具有某种关键特性。数学家们最近采用了他的成果来解决双曲几何中一个重要的未解问题。图源：Joshua Friedman
但弗里德曼的结论并不容易迁移。“这是一个出了名的难解结果，其证明过程非常冗长，难以简化”，赖特说。
当她们开始做这项研究时，安娜塔拉曼曾尝试阅读弗里德曼的证明。但和许多其他数学家一样，她发现它难以理解。她坦言：“当时我真的完全弄不明白。”但现在为了寻找新的线索，她选择重问天书。
这次她有了发现。证明的某些步骤令她似曾相识，就像她和蒙克试图处理的双曲曲面的图论版本。事实上，她意识到，弗里德曼在他的图中遇到了顶点之间的复杂路径，正如她面对的缠结测地线一样，都会阻碍获得谱隙的最佳估计。但不知何故，弗里德曼找到了化解之法，而安娜塔拉曼不太明白他是如何做到的。
2022年5月，她和蒙克组织了一场研讨会，并邀请弗里德曼讲解其工作。“她们确实需要一种深埋在我证明中的技术”，弗里德曼如是说。
在解释她的数学思想时，一向内敛的米尔扎哈尼变得生动活泼。她会谈论各种感兴趣的事物，仿佛它们是故事中的角色。图源：Jan Vondrák
弗里德曼本质上找到了一种方法，证明他可以将有问题路径的图排除在计算之外。在与弗里德曼交流后，蒙克和安娜塔拉曼意识到她们可以采取完全相同的策略。尽管仍需很多工作要做，将弗里德曼的方法转化为适用于双曲曲面十分困难，但她们的疑虑已然消散。“这非常令人兴奋”，蒙克说，“此时，我们确信终点在望。”
不断传承的遗产
2023年初，这两位数学家撰写了一篇论文，概述了她们迄今为止所做的工作。在论文中，她们证明了2/9谱隙的新纪录。“这是一个非常好的中间步骤”，蒙克说。
次年，她们改进了弗里德曼的方法，并写出了计划，解释如何使用该方法得到1/4。上个月，她们终于完成了证明：随机选择的双曲曲面极有可能具有最大谱隙。这一结果拓展了数学家们有关双曲曲面的认知，其他研究者现在希望利用这对搭档的技术来解答其他重要问题，包括有关数论和动力学中重要曲面的问题。
巴黎朱西厄数学研究所（Institute of Mathematics of Jussieu）的数学家安东·佐里奇（Anton Zorich）说，这项工作“随即会带来潮水般的新成果”。
这也让蒙克和安娜塔拉曼对米尔扎哈尼的研究有了更深入的了解。尽管蒙克从未看过米尔扎哈尼的任何讲座视频，也从未听过她的声音。她更希望米尔扎哈尼“在我心中保留一点神秘感”，但她觉得自己好像通过米尔扎哈尼的证明认识了她。“当你仔细研读一个人的证明时，你最终会超越理解具体的研究内容，而了解她的思想”，蒙克说道。
她很荣幸能够延续米尔扎哈尼的遗产，而数学家们也很期待这份遗产将催生怎样的未来。
赖特在谈到他的前任导师时说：“她未能看到这些成果，让我感到很难过。”
佐里奇也有同感。“她本应该在那里欣赏这一切”，他笃定地说，“我相信她会非常开心。”
